Садовская О.В.   Садовский В.М.   Красненко А.Н.  

Метод расщепления в задаче динамики вязкоупругой среды Кельвина-Фойхта

Reporter: Садовский В.М.

На основе метода расщепления по пространственным переменным решается задача определения скоростей и напряжений, вызванных импульсным воздействием на границе вязкоупругой среды Кельвина–Фойхта. Для двумерного случая разработан численный алгоритм, в котором задача сводится к решению серии одномерных задач теории вязкоупругости с определенным выбором направлений. Уравнения динамики среды Кельвина–Фойхта записываются в терминах вектора скорости и тензоров полных и упругих напряжений. Численное решение краевых задач для системы определяющих уравнений строится на основе разностной схемы предиктор–корректор. На шаге корректор искомые величины вычисляются явным образом. На шаге предиктор при вычислении величин, относящихся к граням ячеек, через основные величины, определенные в ячейках, аппроксимируются одномерные системы уравнений динамической теории упругости с помощью метода характеристик. Такой подход позволяет получить разностную схему, устойчивую при выполнении условия Куранта–Фридрихса–Леви для гиперболической системы уравнений линейной теории упругости. Схема неявная на шаге предиктор и реализуется с помощью метода скалярной трехточечной прогонки. В одномерной задаче схема может быть получена на основе метода Иванова построения диссипативных разностных схем с контролируемой диссипацией энергии. На основе одномерной схемы проводились тестовые расчеты задачи о распространении волны, вызванной действием П–образного импульса напряжения на границе полосы. Для сравнения задача решалась также с помощью разностной схемы второго порядка на сдвинутых сетках, построенной по принципу схемы Неймана–Рихтмайера. Расчеты показали, что профили скоростей и напряжений диссипативной схемы практически монотонны – лишены паразитных осцилляций, которые характерны для схемы второго порядка. Проводилось сравнение численного решения задачи о распространении монохроматической волны в вязкоупругой среде с точным решением, которое показало, что погрешность схемы растет с увеличением частоты и с уменьшением шага по времени, оставаясь в пределах, соответствующих схеме первого порядка точности. В двумерной постановке решалась задача Лэмба о мгновенном действии сосредоточенной силы на границе полуплоскости.