О ЧИСЛЕННОй реализациИ термомеханической 
модели динамики пластической среды 
при БОЛЬШИХ деформациях
В.М. Садовский, К.С. Свободина
Институт вычислительного моделирования СО РАН
660036, Красноярск, Россия
Основная проблема численного моделирования больших пластических деформаций в прикладных задачах (штамповка, прокатка, пробивание преград) связана с выбором адекватной термомеханической модели. В современных технических приложениях широко используются различные обобщения модели Уилкинса, не вполне корректной с точки зрения термодинамики. В ней определяющие уравнения упругопластического деформирования строятся на основе комбинации уравнений теории пластического течения и теории гипоупругости, где, строго говоря, нет упругого потенциала [1]. Мы рассматриваем упрощенную, но хорошо обоснованную математическую модель для описания процессов,  в которых упругим изменением формы частиц можно пренебречь по сравнению с пластическим формоизменением. Уравнение состояния среды для давления , плотности  и удельной внутренней энергии  описывает упругую деформацию объема. Определяющие соотношения пластического деформирования формулируются в виде вариационного неравенства, соответствующего принципу максимума мощности диссипации энергии [2]. Полная система уравнений и неравенств в эйлеровых переменных имеет вид:
		    (1)
Здесь– проекции вектора скорости частиц,  и  – компоненты девиатора тензора напряжений и тензора скоростей деформации,   – символ Кронекера,  – функция текучести материала, характеризующая переход материала из упругого состояния в пластическое. Через  обозначены компоненты произвольной допустимой вариации напряжений. Принимается правило суммирования по повторяющимся индексам. Нижний индекс после запятой означает частную производную по соответствующей пространственной переменной, точкой над символом обозначается полная производная по времени. 
В работе [2] изучалась проблема обобщенных решений с сильным разрывом в рамках системы (1), где было показано, что рассматриваемая модель динамически корректна. Она описывает диссипативные разрывы (пластические ударные волны) при наличии плоских участков поверхности текучести, которые сглаживаются, если таких участков нет. 

 В.М. Садовский, К.С. Свободина, 2013

Для упрощенного варианта геометрически линейной модели соотношения (1) принимают следующий вид:
	 	       (2)
где  – постоянная скорость упругих волн, а функция текучести зависит только от компонент девиатора напряжений. При численной реализации на первом этапе алгоритма используется вязкая регуляризация уравнений упругого деформирования ( – коэффициент вязкости):
			(3)
Для решения системы (3) применяется метод расщепления по пространственным переменным, который приводит к многократному решению двух одномерных систем:

		   (4)
				     (5)
со сменой направлений .
При численном решении краевых задач для систем (4), (5) используются разностные схемы с контролируемой диссипацией энергии, построенные по методу Иванова [3]. Система (4) заменяется расширенной системой уравнений:
		   (6)
в которой ,  и  – вспомогательные функции, вообще говоря, отличные от , и . Замыкающая система уравнений записывается в следующей форме:

Здесь – неотрицательно определенная – матрица схемной диссипации с малыми коэффициентами, которая, в частности, может быть равной нулю. Алгоритм решения дискретного аналога расширенной системы (6) основан на методе скалярной прогонки. При произвольном выборе неотрицательно определенной матрицы  получаемая таким образом разностная схема устойчива по отношению к ошибкам округления, так как для нее автоматически выполняется дискретное уравнение баланса энергии с диссипативными слагаемыми. В зависимости от выбора этой матрицы схема может быть немонотонной, порождая осцилляции решения при переходе через фронт ударной волны, или монотонной, сглаживающей фронты ударных волн. Аналогично строится разностная схема для системы (5). 

На втором этапе на каждом шаге по времени решается вариационное неравенство:
			(7)
в котором градиенты скорости  берутся с первого этапа. Теоретической основой такого подхода служит тот факт, что при  неравенство (7) аппроксимирует вариационное неравенство, входящее в систему (2). Решение неравенства (7) определяется как проекция тензора упругих напряжений, вычисленного по уравнениям (3), на выпуклое множество в девиаторном пространстве, задаваемое неравенством . Так выглядит процедура корректировки напряжений, реализующая определяющие соотношения пластичности  [4].
В докладе обсуждаются различные варианты выбора матрицы схемной диссипации с демонстрацией результатов расчетов для задачи о распространении ударных волн малой амплитуды в сжимаемой пластической среде.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 11-01-00053).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 212–263.
2.	Садовский В.М. К теории ударных волн в сжимаемых пластических средах // Известия РАН: Механика твердого тела. 2001. № 5. С. 87–95.
3.	Иванов Г.В., Волчков Ю.М., Богульский И.О., Анисимов С.А., Кургузов В.Д. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002.
4.	Sadovskaya O., Sadovskii V. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials. Ser.: Advanced Structured Materials, Vol. 21. Heidelberg – New York – Dordrecht – London: Springer, 2012.