Значительное количество реальных процессов не укладываются в представления механики сплошной среды и требуют привлечения представлений о фрактальности среды, в которой эти процессы происходят. К таким процессам, например, относятся диффузия примесей в грунте, распространение тепла в аэрогелях. Для их описания используется модифицированный соответствующим образом закон Фика (Фурье) [1], что требует привлечения математического аппарата дробного интегро-дифференциального исчисления [2]. Этот же аппарат все чаще используется для учета наследственных свойств и фрактальности строения реальных материалов. Так в [3] Ю.Н. Работнов ввел обобщение реологического уравнения, построенного им для описания поведения наследственных сред, на случай производных дробного порядка. Обоснование применения производных дробного порядка в моделях вязкоупругости дано в [4,5]. Физическая интерпретация дробного интеграла дана в [6].
При постановке конкретных задач возникают начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными. Развиваются аналитические методы решения задач, однако наибольшее распространение получили численные методы [7-12]. Это связано, в первую очередь с тем, что аналитические решения удается получить только в редких частных случаях.
Одна из проблем, возникающих при использовании дробных производных, заключается в том, что не существует их однозначного определения. Численные методы решения задач для уравнений с дробными производными привязаны к виду выбранной производной, поэтому возникает необходимость анализа и сравнения результатов, полученных при использовании разных определений и численных методов. Такое сравнение проводилось в [8] на примере задачи о распространении теплового импульса.
В данной работе рассмотрены определения дробных производных Римана-Лиувилля, Капуто и Грюнвальда-Летникова, и соответствующие численные методы. Проведено сравнение численных решений ряда задач теплопроводности (диффузии), полученных различными методами для разных типов дробных производных. Анализ результатов позволил выделить определения и методы, наиболее перспективные c точки зрения адекватности описания реальных процессов диффузии во фрактальных средах.
Проведен анализ ряда определяющих соотношений с производными дробного порядка. В модели вязкоупругого тела максвелловского типа с дробными производными решена задача о квазистатическом и динамическом растяжении тонкого стержня.
Полученные результаты использованы для обсуждения влияния значений порядка производных на свойства определяющих соотношений и вид диаграмм деформирования.
Работа выполнялась при поддержке Интеграционного проекта СО РАН № 64 и гранта РФФИ № 12-01-00726-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Abstracts file: | Корчагина.doc |
Full text file: | Корчагина.docx |